Set o no Set, esa es la cuestión

Si en el primer banquete de la semana pasada llamamos h, m y n, respectivamente, al número de hombres, el de mujeres y el de niños, tenemos que:

h + m + n = 41

4h + 3m + n/3 = 40, o sea, 12h + 9m + n = 120

Si a la segunda ecuación le restamos la primera, tenemos:

11h + 8m = 79, por lo que h < 7 (pues de lo contrario no habría mujeres)

3h + 8h + 8m = 8x9 + 7

3h = 8(9-h-m) + 7

3h = múltiplo de 8 + 7 = múltiplo de 8 + 15

h = múltiplo de 8 + 5

Pero h < 7, luego h = 5, y, por tanto, hay 5 hombres, 3 mujeres y 33 niños.

En cuanto al problema de Euler, nuestro comentarista habitual Bretos Bursó lo resolvió así:

“Buscamos el número de hombres h y de mujeres m, ambos enteros no negativos, que cumplen la ecuación base 1000=19h+13 m. Por el enunciado, h debe ser mayor o igual que m. Como 1=13 x 3 - 19 x 2, también se cumple que 1000 = 13 x 3000 - 19 x 2000. Si restamos esta ecuación y la base, obtenemos que 13(3000-m) = 19(h+2000). Por ser 19 y 13 coprimos hay un entero k tal que 3000-m=19k y h+2000=13k. Es decir, m = 3000-19k y h=13k-2000. Para ser m mayor o igual que 0 debe ser k menor o igual que 3000/19, es decir k menor o igual que 157. Pero como h es mayor o igual que m sabemos que 13k-2000 es mayor o igual que 3000-19k, de donde k ha de ser mayor o igual que 5000/32 y, por tanto, k mayor o igual que 157. En definitiva, k=157, lo que da m=17 y h=41. Es decir, en el banquete había 41 hombres, y de ellos 17 estaban acompañados de sus mujeres”. (Francisco Montesinos, Manuel Amorós y Juan José Rodríguez propusieron interesantes alternativas de resolución: ver comentarios de la semana pasada).

Obsérvese que el número de hombres de este banquete es igual al número total de comensales del anterior, lo que confirma (si cupiera alguna duda) que Euler planteó su problema a partir del estudiado por Tartaglia.

SET

El juego de cartas Set fue creado por la genetista Marsha J. Falco en 1974 y comercializado en 1991, y desde entonces ha sido reeditado, y merecidamente premiado, muchas veces. Falco estaba tratando de averiguar si la epilepsia en los perros era hereditaria, y para facilitar su trabajo diseñó unas tarjetas en las que utilizaba símbolos para representar bloques de información genética. Y al darse cuenta de las divertidas posibilidades combinatorias de los distintos símbolos, ideó el juego del Set.

Como su nombre indica (set es conjunto en inglés), el Set es un juego en el que hay que formar conjuntos de tres cartas de acuerdo con una sencilla regla de agrupación: han de ser las tres iguales o las tres distintas en cada una de sus cuatro características, que son forma (óvalo, onda o rombo), color (rojo, verde o morado), fondo (sólido, rayado o blanco) y número (una, dos o tres figuras).

En la ilustración vemos tres ejemplos de conjuntos válidos: en el primer caso, las tres cartas son iguales en color y en número, y las tres son distintas en forma y fondo. En el segundo caso, las tres cartas son distintas en todas y cada una de las características: número, forma, fondo y color. En el tercer caso, son iguales en forma y distintas en fondo, color y número.

En otra ocasión veremos con más detalle las reglas y la mecánica de este interesante juego, así como sus variantes; pero, de momento, un par de preguntas sencillas (bueno, una sencilla y otra no tanto):

¿De cuántas cartas consta el Set? ¿Cuántos conjuntos diferentes se pueden formar con ellas?

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