El problema más difícil

Los números esfénicos, de los que nos ocupamos la semana pasada, tienen todos ellos ocho y solo ocho divisores, pues, al ser el producto de tres primos distintos, son de la forma n = p.q.r, por lo que sus divisores serán, además del 1 y el propio número, los tres factores primos más las tres combinaciones binarias de estos primos, o sea: 1, p, q, r, p.q, p.r, q.r, n.

Como vimos, puede haber dos e incluso tres números esfénicos consecutivos; pero no puede haber cuatro, puesto...

Los números esfénicos, de los que nos ocupamos la semana pasada, tienen todos ellos ocho y solo ocho divisores, pues, al ser el producto de tres primos distintos, son de la forma n = p.q.r, por lo que sus divisores serán, además del 1 y el propio número, los tres factores primos más las tres combinaciones binarias de estos primos, o sea: 1, p, q, r, p.q, p.r, q.r, n.

Como vimos, puede haber dos e incluso tres números esfénicos consecutivos; pero no puede haber cuatro, puesto que uno de cada cuatro números consecutivos es múltiplo de 4, y por lo tanto, contiene el factor 2 repetido, y, por definición, un número esfénico es el producto de tres primos distintos.

La conjetura de Goldbach

Parece ser que cualquier número par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos primos (no necesariamente distintos):

4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 3+11 = 7+7…

Si tomamos la sucesión de los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…) y los vamos emparejando ordenadamente de todas las maneras posibles, consigo mismos y con los demás (y prescindiendo del 2 tras usarlo para obtener el 4), al sumar los dos miembros de cada pareja vamos obteniendo los sucesivos números pares. Y puesto que cuanto mayor es un número, más maneras distintas hay de expresarlo como la suma de otros dos, parece claro que siempre podremos descomponer un número par en dos sumandos impares que además sean primos.

Parece claro, y la mayoría de los matemáticos están convencidos de que así es; pero hasta ahora nadie ha podido demostrarlo. Todo empezó cuando, en 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le escribió a Euler una carta en la que lo invitaba a encontrar una demostración de esta suposición tan razonable, casi evidente, conocida desde entonces como la conjetura de Goldbach. Pero el gran Euler, al que nunca se le resistía un problema relacionado con los números, fue incapaz de hallar una demostración, y todos los que lo han intentado tras él, que han sido legión, han fracasado.

La fuerza bruta de los ordenadores ha demostrado que la conjetura de Goldbach se cumple para todos los números pares inferiores a cien trillones (un 1 seguido de veinte ceros); pero esto, frente al infinito, no es nada, y aunque la mayoría de los matemáticos creen que la conjetura es cierta, algunos opinan que los números primos muy grandes podrían depararnos más de una sorpresa. Y, por otra parte, nadie ha podido encontrar un contraejemplo, es decir, un número par no expresable como la suma de dos primos, lo que demostraría que la conjetura es errónea. Un problema aparentemente trivial, cuya comprensión está al alcance de un niño, y que ha resultado ser uno de los más difíciles de la historia de las matemáticas (el más difícil, según algunos).

Como vimos la semana pasada, en 1973 el matemático chino Chen Jingrun demostró, utilizando la teoría de cribas, el teorema que lleva su nombre, según el cual todo número par lo suficientemente grande puede expresarse como la suma de dos primos o de un primo y un semiprimo (recordemos que un semiprimo es el producto de dos primos, no necesariamente distintos, como 9 = 3x3 o 77 = 7x11), lo que podría ser un primer paso hacia la demostración de la conjetura de Goldbach. Ahora solo falta dar los pasos siguientes.

Y para terminar, y en consonancia con el tema, el metaproblema más difícil:

¿En qué se diferencia esta entrega de El juego de la ciencia de todas las anteriores?

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