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El pequeño teorema

Menos conocido que el último teorema de Fermat, su pequeño teorema no es menos importante en cuanto a sus aplicaciones

'Pierre de Fermat' (Francia, 1601 ​-1665), por Rolland Lefebvre.
'Pierre de Fermat' (Francia, 1601 ​-1665), por Rolland Lefebvre.WIKIMEDIA COMMONS
Carlo Frabetti

La semana pasada vimos algunas de las características del versátil número 8, que es, entre otras cosas, un número de Leyland. Veamos lo que dice al respecto nuestro comentarista habitual Bretos Bursó:

“La sucesión de los números de Leyland aparece en la OEIS, pero añade como elemento inicial el número 3, sin dar una explicación. Contestar a la pregunta de Carlo es fácil: se suprime x=1 o y=1 porque en caso contrario todo número n sería de Leyland (n=1^(n-1)+(n-1)^1). En la entrada de la OEIS hay un enlace a un archivo de texto con los 5.000 primeros números de Leyland, y me ha llamado la atención que el número 98 es 20000000000. Planteo la pregunta obvia: sabiendo que un número de Leyland es igual a x^y + y^x, con x e y enteros mayores que 1, ¿cómo hallar lo que valen x e y? Para algunos es muy fácil, pero ¿cómo se resolvería, por ejemplo, para el del lugar 100, que es 31381070257?”.

La OEIS (por sus siglas en inglés) es la Enciclopedia Online de las Secuencias de Números Enteros, y a mí también me ha sorprendido que se incluya el 3 al comienzo de la lista, pues en todos los artículos que había leído hasta ahora sobre los números de Leyland se considera que el 8 es el primero de ellos. ¿Se te ocurre una explicación para esta inclusión? Y, dado un número de Leyland, ¿cómo podemos hallar la x e y que lo generan?

Dentro de los números de Leyland tienen especial interés los que son primos, sobre todo por su utilización en criptografía. El menor primo de Leyland es 17, el segundo 593 y no encontramos otro hasta llegar al 32993, de donde saltamos al 2097593: los primos de Leyland están muy espaciados y su secuencia crece muy rápidamente. El mayor primo de Leyland conocido es el correspondiente a los valores 2929 y 8656 para x e y, un número de 30008 dígitos.

También hay, entre los números de Leyland grandes probables primos, como el correspondiente a 9 y 314738. Como su nombre indica, un probable primo es un número que es muy probable que sea primo, aunque no se haya demostrado que lo sea. Los probables primos superan el test de primalidad de Fermat, basado en su “pequeño teorema”.

Homer Simpson, rodeado por un contraejemplo del Teorema de Fermat.
Homer Simpson, rodeado por un contraejemplo del Teorema de Fermat.

Un teorema no tan pequeño

El pequeño teorema de Fermat dice que si a es un entero positivo y p un primo que no es factor de a, entonces p ha de ser un factor de aᴾ⁻¹ – 1. Por ejemplo, si a = 8 y p = 3, vemos que 8² – 1 = 63, y 63 es divisible 3. ¿Cómo podemos basar en este teorema un test de primalidad capaz de detectar probables primos?

Se denomina “pequeño teorema de Fermat” para distinguirlo del conocido como último teorema de Fermat y, en la actualidad, como teorema de Fermat-Wiles, ya que fue demostrado en 1995 por el matemático británico Andrew Wiles. Dicho teorema afirma que no es posible encontrar tres números enteros positivos x, y, z tales que verifiquen la ecuación, xⁿ + yⁿ = zⁿ, para n mayor o igual, que 3. Lo que parece una inocente ampliación del teorema de Pitágoras resulta imposible; una imposibilidad tan difícil de demostrar que los matemáticos han tardado más de tres siglos en conseguirlo. El propio Wiles describió así su proceso:

“Entras en la primera habitación de una mansión y está a oscuras. Vas tropezando con los muebles, pero poco a poco aprendes dónde está cada elemento del mobiliario. Al final, tras seis meses más o menos, encuentras el interruptor de la luz y de pronto todo se ilumina. Puedes ver exactamente dónde estás. Entonces vas a la siguiente habitación y te pasas otros seis meses a oscuras. Así, todos estos progresos, aunque a veces son muy rápidos y se realizan en un día o dos, son la culminación de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los cuales el avance habría sido imposible”.

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Sobre la firma

Carlo Frabetti
Es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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